Agujero negro de Schwarzschild

Absorción de ondas escalares - Primeros pasos

Parte 1 - Coordenadas tortuga

Voy a hacer una serie de posts hablando de cómo desarrollé mi TFM, y éste es el primero.

El objetivo del TFM era poder distinguir entre diferentes ECOs (Extreme / Exotic Compact Objects), como un agujero negro o un agujero de gusano. Los papers clave para el desarrollo fueron Absorption by black hole remnants in metric-affine gravity y Reissner-Nordström black holes in extended Palatini theories, aunque hay muchos más…

El TFM lo puedes encontrar en Absorción de ondas escalares por agujeros de gusano de membrana fina

Empecemos

Aunque el caso de agujero negro de Schwarzschild es muy básico¹, ha servido como punto clave y fundamental para el estudio y desarrollo del TFM.

Por una parte puesto que en este caso disponemos de la solución analítica, vamos a poder confrontar nuestros cálculos ya que nosotros usaremos métodos numéricos. Y por otra vamos a poder crear todas las herramientas que nos harán falta en el futuro para nuestro estudio.

La ecuación

La ecuación que vamos a intentar resolver es

Lo primero que tuve que hacer es ’entrenar’ para ver de qué iba todo esto y hacerme una idea general. Para ello me puse a estudiar la ecuación 1-dimensional de Schrödinger que tiene una pinta parecida a

De esta parte destacaré que descubrí el método de Numerov. Desgraciadamente poco después lo tuve que abandonar porque no se ajustaba al API de GSL (GNU Scientific Library), que es la librería que utilicé para hacer los cálculos. Por tanto, aquí tenemos el primer punto de mejora del TFM: implementar Numerov de forma que se pueda usar con GSL.

Coordenadas Eddington–Finkelstein (tortuga)

Por comodidad hacemos referencia a ‘r’ como ‘x’ y ‘r*’ como ‘y’. r* son las coordenadas tortuga que tienen la forma

Como puede verse, se puede resolver analíticamente y cuya solución se da como

pero nosotros vamos a solucionar el problema de forma numérica.

De todas formas aquí ya tengo una de mis primeras dudas. Tenemos que

Operando, obtenemos

que es una integral casi directa, donde obtenemos

Como vemos se parece mucho a la expresión que todo el mundo utiliza

pero no es exactamente igual. La cosa es que si nos fijamos, si hacemos

obtenemos la expresión ’esperada’. Mi pregunta es ¿de dónde sacan la condición inicial para obtener la constante C?²

Las dos opciones que he barajado son:

Pero con ninguna de ellas he sido capaz de obtener una CI para obtener la constante C…

Otro apunte es que normalmente no tendremos la expresión x(y) pero sí la expresión y(x) y una condición inicial y(x0), así que mediante y(x) obtendremos x(y).

Empecemos (por fin…)

Mediante la expresión y(x) ya podemos obtener x(y), así que vamos a resolver

Intuitivamente si integramos hacia delante podemos decir que

Todo el código lo puedes encontrar en schwarzschild-double-web-1

En la función funcYX planteamos la EDO y para poder utilizar métodos implícitos también calculamos la jacobiana en jacoYX, finalmente en tortoise_xy_integration hacemos los cálculos.

/* tortoise.c */
...
funcXY...
...
dydt[0] = 1 - rS/y[0];
...

Como vemos en la gráfica

no obtenemos ningún resultado… primer chasco. El motivo es que no podemos usar como condición inicial exactamente rS integrando hacia delante. Si introducimos un delta, como por ejemplo 1e-9, y volvemos a ejecutar, esta vez sí veremos una gráfica exactamente como se espera… PERO desplazada (experimenta con el código, he dejado comentarios para ello. De esto se trata todo esto, de hacer experimentos).

De hecho, si cambiamos el intervalo de integración ese desplazamiento también cambiará sin cambiar delta

Muy pero que muy mala señal…

Como conocemos la expresión analítica, vamos a usarla para obtener el valor exacto en -inf

Ahora sí que obtenemos la gráfica correcta. Pero un momento ¿no queríamos obtener la gráfica de las coordenadas tortuga resolviendo la ecuación numéricamente? Si estás usando la expresión analítica, ¿no es eso hacer trampas? ¿Qué sentido tiene calcular algo numéricamente de lo que ya tienes su ecuación?

Vale, vale… sí… es hacer trampas pero en realidad este es un estudio cualitativo. Esto lo veremos más adelante. La cuestión es que sin usar el valor en -inf de la expresión analítica vamos a obtener las mismas gráficas que con el valor exacto, pero desplazadas. Además, ahora mismo quiero usar los valores exactos para confrontar con los valores calculados. Y como se ve, ambos coinciden exactamente.

Potencial

Trataremos el potencial en el siguiente post…

CONTACTO: jm(at)hykrion(dot)com