¿Por qué obtenemos una onda senoidal al aplicar un filtro paso bajo de orden 3 en una onda cuadrada?
En un montón de webs explican cómo obtener una onda senoidal de forma sencilla a partir de una onda cuadrada, pero no he visto ninguna que explique porqué es esto. Como es muy sencillo y como he visto un error grave de concepto en el encadenamiento de filtros, voy a escribir un pequeño artículo.
Series de Fourier
Si examinamos en la Wikipedia el apartado sobre series de Fourier ya vemos de forma inmediata la respuesta a nuestra pregunta
Una onda cuadrada periódica (y de hecho cualquier tipo de onda periódica), está formada por una serie de ondas senoidales y cosenoidales. De hecho, en la figura se puede apreciar cómo se va formando la onda cuadrada a partir de ondas senoidales y la primera de ellas, la fundamental, es nuestra onda senoidal.
Examinando la serie de Fourier de una onda cuadrada vemos que está formada por los senos impares. Si realizamos la suma de los 5 primeros términos obtenemos la siguiente figura,
y si vamos a aumentando el número de términos tenidos en cuenta, veremos que cada vez más nos aproximamos a una onda cuadrada .
Por tanto, si filtramos adecuadamente las frecuencias altas, nos quedaría
Filtros
Lo más fácil para crear un filtro paso bajo es utilizar un condensador y una resistencia. Imaginemos que queremos obtener una onda senoidal de 1kHz. La ecuación
nos lleva a la siguiente configuración con la que obtenemos que como vemos es muy deficiente. La razón la podemos encontrar en la sección de la Wikipedia donde explica el comportamiento del filtro RC pasabajo donde podemos ver cómo estamos atenuando la señal en -6dB por octava (o -20dB por década), lo cual no es suficiente. Por tanto, vamos a incrementar el orden del filtro simplemente concatenando filtros de primer orden.
Respuesta en frecuencias
Lo habitual en estos casos es estudiar la respuesta en frecuencia utilizando Laplace. Para ello, tenemos anterior circuito
y sus ecuaciones quedando Ecuaciones a las que hubiéramos llegado más fácilmente utilizando Thevenin y la transformada de Laplace misma, que realizando la transformada inversa de Laplace, efectivamente obtenemos la curva de la carga del condensador
Filtro de 2o orden
Hasta aquí todo bien. Vamos pues ha aumentar el orden del filtro concatenando 2 de ellos
Como la nueva tensión de entrada es la tensión de salida del circuito anterior, la nueva función de transferencia es … ¿verdad?
Pues no. Y este es el error de concepto que quiero comentar: Cuando se deduce la función de transferencia de un circuito aislado, se supone que la salida NO está cargada. Puedes encontrar más información en apartado “Funciones de transferencia de elementos en cascada” del Tema 2 - Modelo matemático de sistemas dinámicos en Ogata. Si volvemos a realizar Laplace del circuito
Llegaremos a que tras varias manipulaciones obtendremos Que como puedes ver no se parece en nada a la función de transferencia que habíamos calculado anteriormente incluso haciendo R1 = R2 = R y C1 = C2 = C:
Filtro de 3er orden
Como puedes ver ya con un filtro de 2o orden no solo la cosa se complica sino que en cada paso, vamos perdiendo señal. Revisando las gráficas de la Wikipedia vemos que ya tenemos una atenuación de -40dB/década, pero esto no es suficiente. Necesitamos llegar a -60dB/década, es decir: añadir un tercer filtro.
Más allá de un simple filtro RC
Quería probar otro tipo de filtros pasivos más sofisticados que los típicos filtros RC, así que me decanté por los filtros Butterworth y Chebyshev.
En esta otra entrada de mi blog, hablo del diseño de filtros. De todas formas, adelanto que he implementado un filtro Butterworth de orden 2 y un filtro Chebyshev de orden 3 y rizado 1dB, para una fc=1kHz y RL = 50ohm.
Butterworth
Parece que la característica principal de este tipo de filtro es su respuesta plana en la banda de paso. Aún así quería darle una oportunidad porque está estrechamente relacionado con Chebyshev.
Para ello simulé un filtro de orden 2, y la verdad que me sorprendió la respuesta obtenida pero la realidad era mucho peor… aunque también hay que decir que los valores reales del circuito eran meras aproximaciones. El análisis de Fourier nos muestra las vergüenzas de la “senoidal” obtenida (aunque era de esperar para un filtro de orden 2) que como vemos tiene un montón de armónicos además del fundamental y 2 de ellos con una amplitud muy considerable.
Chebyshev
En este caso, la característica principal de este filtro, es la abrupta caída desde fc y el rizado de la señal en la banda de paso. Como he dicho antes, en este caso implementé un filtro de orden 3 (-60dB/década) y rizado 1dB,
y la respuesta en la simulación era muy buena En este caso, aunque los valores reales del circuito también son una burda aproximación, el resultado es mucho mejor que los obtenidos con el filtro Butterworth anterior, aunque evidentemente se debe a que este filtro es de orden 3… Como vemos, el único armónico destacable es el tercero. La señal es mucho más limpia y de hecho en el osciloscopio la senoidal de 1kHz obtenida a partir de una onda cuadrada de también 1kHz, tiene una pinta muy buena.
Otras formas de onda y ciclo de trabajo
Ciclo de trabajo
En realidad, la serie de Fourier que he mencionado antes solo aplica si nuestra onda cuadrada tiene un duty cycle del 50%. Si se da esta simetría es cuando los armónicos pares desaparecen.
Veamos con un osciloscopio que he implementado con Arduino cómo afecta el ciclo de trabajo.
Aquí tenemos una onda cuadrada de 1kHz, 5Vpp y ciclo de trabajo del 50%
Si realizamos un análisis espectral (aquí he aplicado una ventana Hamming de 256 puntos) vemos los armónicos impares hasta el 5o.
Si ahora analizamos una onda cuadrada con un ciclo de trabajo del 60%, obtenemos la siguiente gráfica (esta vez he dejado los cursores, líneas verde y lila, en el 1er y 2o armónicos). También, el que aparezcan armónicos más cercanos a nuestra fundamental implicaría utilizar filtros con una mayor pendiente para obtener una señal límpia.
Además, la energía del primer armónico ha disminuido. En esta gráfica con una onda con ciclo de trabajo del 90% se aprecia mejor.
Otras formas de onda
Evidentemente, también podemos utilizar otras formas de onda. Por ejemplo, aquí podemos ver los armónicos 1o y 3o de una onda triangular.
pero como puede verse la energía aquí también es menor que cuando usamos una onda cuadrada al 50%.